医学统计学复习（2）

26 年 1 月 6 日星期二

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4526 字

23 分钟

本科

统计学 , 方差分析 , 卡方检验 , 非参数检验 , 线性回归 , Logistic回归 , 生存分析

八、方差分析

F 检验

基于 $F$ 分布的假设检验分布，比较方差或模型整体显著性。

$F$ 分布由两个独立的卡方分布除以各自自由度后相除得到：

F=\frac{\chi_1^2/df_1}{\chi_2^2/df_2}

$F$ 值越大，说明两组方差差异越显著。

方差齐性检验

用于检验两组或多组数据的 总体方差 是否相等。

F=\frac{s_1^2}{s_2^2}(s_1^2>s_2^2)

查 $F$ 分布表，若 $F>F_{df_1=df_2=n-1,\alpha=0.05}$ ，则拒绝方差齐性假设。

方差分析

用于多个均数比较，简称 ANOVA。

要求：

各样本是相互独立的随机样本；
各样本来自正态总体；
各处理组总体方差相等。

均方 MS： 平方和处以自由度，表示平均变异。SS 作为平方和，是变异的总量。

目的： 检验定量资料（数值变量）中两个或两个以上 总体均数间 差别是否有显著性。

核心思想：变异分解

总变异：全部侧量值 $X_{ij}$ 与总体均数 $\bar{X}$ 间的差异
组间变异：各组的均数 $\bar{X_i}$ 与总体均数 $\bar{X}$ 间的差异
组内变异：每组的 $j$ 个原始数据与该组的均数 $\bar{X_i}$ 间的差异

\text{SS}_总=\text{SS}_{组间}+\text{SS}_{组内}

\implies\sum_{i,j}{(X_{ij}-\bar{X})^2}=\sum_{i=1}^K{(\bar{X_i}-\bar{X})^2+\sum_{i,j}{(X_{ij}-\bar{X_i})^2}}

\nu_总=\nu_{组间}+\nu_{组内}

\implies N-1=(K-1)+(N-K)

变异来源：

组间变异：
- 处理因素的不同水平对实验结果的影响 （希望看到的变异）
- 随机误差 （不可避免）
组内变异：
- 随机误差 （不可避免）

因此，通过分解数据的总变异，比较 组间差异是否显著大于组内差异 ，可以回答处理因素对实验结果是否有影响的问题。

完全随机设计的多个样本均数比较

$H_0$ ：组间变异等于组内变异，此时 处理因素无显著影响。

F=\frac{\text{MS}_{组间}}{\text{MS}_{组内}}=\frac{\text{SS}_{组间}/\nu_{组间}}{\text{SS}_{组内}/\nu_{组内}}

$F\approx 1$ ： $H_0$ 成立；
$F\gg1$ ： $H_0$ 不成立。

令

C=\frac{(\sum X)^2}N

则

\text{SS}_总=\sum_{i,j}(X_{ij}-\bar{X})^2=\sum_{i,j} X_{i,j}^2-C

\text{SS}_{组间}=\sum_{i=1}^K{(\bar{X_i}-\bar{X})^2}=\sum_{i=1}^K{\frac{(\sum X_i)^2}{n_i}}-C

又

\text{SS}_{组内}=\text{SS}_总-\text{SS}_{组间}

故，题目已知 $N,K,n_i,\sum X_i, \sum X_i^2$ ，可以求得 $F$ 的值。

随机区组设计的方差分析

随机区组设计，也叫配伍组设计，指的是将受试对象按性质（控制因素）相同或相近组成 $b$ 个区组，每个区组中的 $k$ 个受试对象分别随机分配到 $k$ 个处理组中。

临床场景：患者病情严重程度不同，按病情分层（区组），每层内随机分配治疗方案。

$H_0$ ：区组间/处理组间总体均数相等。

原则：区组间差别大，区组内差别小；
作用：能进一步控制个体差异。 $\text{SS}_总=\text{SS}_{处理}+\text{SS}_{配伍}+\text{SS}_{误差}$ $\nu_总=\nu_{处理}+\nu_{配伍}+\nu_{误差}$

变异来源	$\text{SS}$	$\nu$	$F$
总	$\sum{x^2}-C$	$N-1$
处理组间	$\sum_{i=1}^k{\frac{(\sum_j x_{ij})^2}b}-C$	$k-1$	$\frac{\text{MS}_{处理}}{\text{MS}_{误差}}$
区组间	$\sum_{j=1}^b{\frac{(\sum_i x_{ij})^2}k}-C$	$b-1$	$\frac{\text{MS}_{配伍}}{\text{MS}_{误差}}$
误差	$\text{SS}_总-\text{SS}_{处理}-\text{SS}_{配伍}$	$\nu_总-\nu_{处理}-\nu_{配伍}$

以临床实验为例：

区组：病情严重程度
- 若 $F_{区组}=\frac{\text{MS}_{区组}}{\text{MS}_{误差}}>F(\nu_{区组},\nu_{误差})\rightarrow\text{拒绝}H_0$ ，则说明病情严重程度确实影响治疗效果；
- 若显著则分层成功控制了混杂因素，提高了检验效能；不影响处理效应。
处理：治疗方案
- 若 $F_{处理}=\frac{\text{MS}_{处理}}{\text{MS}_{误差}}>F(\nu_{处理},\nu_{误差})\rightarrow\text{拒绝}H_0$ ，则说明至少有两种治疗方案效果不同；
- 是研究者最关心的结果，决定了处理是否比先前更为有效。

注：多重比较会导致犯第一类错误的概率增大： $\alpha'=1-(1-0.05)^m$

九、卡方检验

用于检验分类变量间的关联性或独立性。

四格表资料的卡方检验

研究独立组间数据是否存在差异/变量是否存在关联。

	治愈	未治愈	合计
新药组	$a$	$b$	$a+b$
对照组	$c$	$d$	$c+d$
合计	$a+c$	$b+d$	$n$

Pearson 卡方公式

\chi^2=\sum\frac{(A-T)^2}T,\nu=1

其中， $A$ 为实际频数， $T$ 为理论频数， $\nu=1$ 为自由度。

理论频数计算公式

T_{ij}=\frac{n_{i+}n_{+j}}n

其中， $n_{i+}$ 和 $n_{+j}$ 分别是相应行和列的周边合计数。

专用公式

\chi^2=\frac{(ad-bc)^2n}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}

校正公式

\chi^2=\sum\frac{(A-T)^2-0.5}T

\chi^2=\frac{(|ad-bc|-\frac{n}2)^2n}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}

Fisher 确切概率法

获得初始四格表的 $|a-T_a|$ 和 $P$ 值
在四格表边缘合计固定不变情况下，不断减小 $a$ 的值，得到一系列的四格表；
算出第 $i$ 个四格表四个格子数据各种组合的概率 $P_i$ 同时得到 $|a-T_a|$ ；
若表 $i$ 的 $|a-T_a|\geq$ 初始表的值，则可以算入总 $P$ 值中。 $P_i=\frac{(a+b)!(c+d)!(a+c)!(b+d)!}{a!b!c!d!n!}$ $P=\sum_{|a_i-T_{a_i}|\geq|a-T_a|}{P_i}$

规定：

当 $n\geq40,\forall T\geq5$ 时，不需要校正；
当 $n\geq40,\exists 1<T\leq5$ 时，用校正公式；
当 $n<40\text{ OR }\forall T<1$ 时，用 $\text{Fisher}$ 确切概率法。

配对四格表资料的卡方检验

适用于同一组对象在干预前后的比较，研究其干预效果。不能用来做独立性检验。

	后测：是	后测：否	合计
前测：是	$a$	$b$	$a+b$
前测：否	$c$	$d$	$c+d$
合计	$a+c$	$b+d$	$n$

McNemar 检验方法

\chi^2=\frac{(b-c)^2}{b+c},\nu=1

当 $(b+c)<40$ 时，使用校正公式

\chi_c^2=\frac{(|b-c|-1)^2}{b+c},\nu=1

R×C 列联表的卡方检验

用于多个样本率或多个构成比的比较。其计算公式为

\chi^2=n(\sum\frac{A_{ij}^2}{n_{i+}n_{+j}}-1),\nu=(R-1)(C-1)

约束条件：

$\forall A_{ij}\geq 1$
$T\ge5$ 的格子数至少达到 $80\%$ （确保大样本）

注意：

$H_1$ 只能认为各总体率有总的区别，不能说明任两个总体率之间有区别；
与分类变量的顺序无关，对于有序表不宜使用 $\chi^2$ 检验。

十、非参数检验

适用于：

不假定总体分布的资料；
有序分类变量的资料；
总体方差不齐的资料。

秩 Rank： 按一定大小顺序编排后的排名，相同的值采用平均秩。

Wilcoxon 符号秩和检验

适用于：单样本、配对样本。

建立假设检验

$H_0$ ：假设配对样本效应相同，则每对变量的差值总体以 $0$ 为中心对称分布，差值中位数 $M_d=0$
$H_1$ ：配对效应有差别，差值的总体中位数 $M_d \neq 0$

检验步骤

正负分开，分别按差值绝对值由小到大编秩
差值为 $0$ 则丢弃，同时样本例数 $-1$
绝对值相等，符号相反则取平均秩次，符号相同取平均或顺次排列；
分别求正负秩次之和 $T_+$ $T_-$ ，取其中任意值为统计量 $T$
当 $n\leq 50$ 时，可以查 $T$ 界值表
- 若 $T$ 在范围内，则双侧 $p>0.05$
- 若 $T$ 在范围外，则 $p<0.05$
- 若等于上下限，则 $p=0.05$
当 $n>50$ 时，无法查表，做近似正态检验：
$Z=\frac{|T-\mu_T|-0.5}{\sigma_T}$
其中
$\mu_T=\frac{n(n+1)}4, \sigma_T=\sqrt\frac{n(n+1)}{24}$
当相同秩次出现过多时， $Z$ 偏小，应该进行校正。
$Z_c=\frac{|T-\frac{n(n+1)}4|-0.5}{\sqrt{\frac{n(n+1)(2n+1)}{24}-\frac{\sum(t^3-t)}{48}}}$

Wilcoxon 两独立样本秩和检验

适用于：两组独立样本（数值、等级型）

建立假设检验

$H_0$ ：两独立样本来自分布相同的总体。此时两样本的平均秩次 $\frac{T_1}{n_1},\frac{T_2}{n_2}$ 相等或很接近。
$H_1$ ：两样本代表的总体分布位置有差异。

检验步骤

正负分开，分别按差值绝对值由小到大编秩
取较小秩和 $T=\min(T_+,T_-)$
$n_1\le 10, n_2-n_1\le 10$ 时，查 $T$ 临界表；
超过范围，做近似正态检验：
$Z=\frac{|T-\mu_T|-0.5}{\sigma_T}$
其中
$\mu_T=\frac{n_1(n_1+n_2+1)}2, \sigma_T=\sqrt\frac{n_1n_2(n_1+n_2+1)}{12}$
当相同秩次出现过多时，同样应该进行校正。这里就不写了。

多个独立样本的 H 检验

适用于：多组独立样本（数值、等级型）

又称 $\text{Kruskal-Wallis}$ 检验。

建立假设检验

$H_0$ ：多组独立样本代表的总体分布相同。
$H_1$ ：多组独立样本代表的总体分布位置有差异。

检验步骤

将多组数值从小到大统一编秩，将各组分别相加得到每组秩和 $R_i(i=1\dots k)$
计算检验统计量 $H$ $H=\frac{12}{N(N+1)}\sum_{i=1}^k{\frac{R_i^2}{n_i}-3(N+1)}$
存在结（相同秩次）时（假设第 $j$ 个结的重复次数为 $t_j$ ） $H_c=\frac{H}{1-\sum{\frac{t_j^3-t_j}{N^3-N}}}$

十一、线性回归与相关

线性相关

协方差

Cov(X,Y)=E[(X-E[X])(Y-E[Y])]=E[XY]-E[X]E[Y]

协方差 $>0$ 时， $(X,Y)$ 分布在区域(1)(3)，它们正相关；
协方差 $<0$ 时， $(X,Y)$ 分布在区域(2)(4)，它们负相关；
协方差 $=0$ 时，它们的分布不相关。

Pearson 积差相关系数

$r$ ，表示两数值变量的相关方向（正负）和密切程度（绝对值）

r_{x,y}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)\cdot Var(Y)}}

其中

Var(X)=E[(X-E[X])^2]

这一操作剔除了量纲影响，使其范围限制在 $[-1,1]$ 之间。

$\\|r\\|$	相关性强度
$(0,0.3]$	较差
$(0.3,0.6]$	中度
$(0.6,0.8]$	较高
$(0.8,1]$	很高

Spearman 秩相关

适用于：

不服从双变量正态分布的资料
原始数据用等级表示的材料

分析步骤：

将变量编秩 $R_X,R_Y$
算出等级相关系数 $r_s$

线性回归

简单线性回归方程

\hat{Y}=a+bX

$X$ 是自变量（解释变量）， $Y$ 是因变量（结果变量）， $\hat{Y}$ 是给定 $X$ 时 $Y$ 的估计值（均值）。

$b$ 是回归系数。

残差平方和

残差 $e=Y-\hat{Y}$ 残差平方和

Q=\sum_{i=1}^n{(Y_i-\hat{Y_i})^2}=\sum_{i=1}^n({Y-bX_i)^2}

通过最小二乘法得出使平方和最小的 $b$

b=\frac{Cov(X,Y)}{Var(X)}=\frac{\sum{(X-\bar{X})(Y-\bar{Y})}}{\sum{(X-\bar{X})^2}}

线性回归中总变异的分解

变异来源	$SS$	$\nu$	$F$
总	$\sum{(Y-\bar{Y})^2}$	$n-1$
回归	$\sum{(\hat{Y}-\bar{Y})^2}=\frac{Cov^2(X,Y)}{Var(X)}$	$1$	$\frac{MS_{回归}}{MS_{残差}}$
残差	$SS_总-SS_{回归}$	$n-2$

线性回归与相关应用的注意事项

自变量 $X$ 既可以是随机变量（称为 Ⅱ 型回归模型，两个变量都服从正态分布），也可以是给定的量（称为 I 型回归模型，在 $X$ 取值固定时 $Y$ 服从正态分布）。

如果 $Y$ 不服从正态分布，在进行回归分析前，应先进行变量的变换以使因变量符合回归分析的要求。

十二、多元线性回归

多元线性回归

\hat{Y_i}=b_0+b_1X_1+b_2X_2+\cdots+b_mX_m

$i$ 表示第 $i$ 组观测值，观测组的数量 $n$ 应该 远大于 参数数量 $m$ 。

残差平方和

Q=\sum_{i=1}^n{(Y_i-\hat{Y_i})^2}=\sum_{i=1}^n[{Y_i-(b_0+b_1X_{i1}+b_2X_{i2}+\cdots+b_mX_{im})]^2}

目标是最小化 $Q$ ，用最小二乘法逐步得出 $b_{0\dots m}$

模型检验-F检验

变异来源	$SS$	$\nu$
总	$\sum{(Y_i-\bar{Y_i})^2}$	$n-1$
回归	$\sum{(\hat{Y_i}-\bar{Y_i})^2}$	$m$
残差	$Q$	$n-m-1$

F=\frac{SS_{回归}/m}{SS_{残差}/(n-m-1)}

复相关系数和决定系数

复相关系数 $R$ 表示回归方程中的全部自变量 $X$ 与因变量 $Y$ 的相关密切程度。

R=\sqrt{\frac{SS_{回归}}{SS_{总}}},0\le R \le1

决定系数 $R^2$ （回归平方和在总平方和的比重）越接近 $1$ 拟合效果越好。

偏回归系数检验

为了保证每一个自变量都与因变量存在线性关系。

假设：

$H_0$ ： $b_j=0$ 变量 $X_j$ 与 $Y$ 线性无关。
$H_1$ ： $b_j\ne 0$

检验步骤：

方差分析-F检验法

剔除 $j$ 以后重新得到回归方程。

F=\frac{(SS_{回}-SS_{回(-j)})/1}{SS_{残}/(n-m-1)}

t检验法
$t_j=\frac{b_j}{SE(b_j)}$
其中
$SE(b_j)=\sqrt{\frac{MS_{残差}}{\sum_{i=1}^n{(X_{ij}-\bar{X_j})^2(1-R_j^2)}}}$
$R_j^2$ 是将 $x_j$ 作为因变量，其余 $k-1$ 个自变量作为预测变量进行回归得到的 $R^2$
$R_j^2=\frac{\sum{(\hat{X_j}-\bar{X_j})^2}}{\sum{(X_j-\bar{X_j})^2}}=\frac{SS_{回归j}}{SS_{总j}}$

（二者完全等价）

标准化回归系数

b_j'=b_j(\frac{S_j}{S_Y})

标准化回归系数越大，该自变量对因变量的贡献越大。

多元逐步回归

解决问题：只保留有统计学意义的自变量。

向前选择法：从一个自变量开始，对回归平方和最大的自变量做 F 检验，每次引入一个具有统计学意义的自变量，由少到多，直到不具有统计意义的因素不可以引入；
向后选择法：先建立一个包含所有自变量的回归方程，对偏回归平方和最小的变量做 F 检验，如果不显著就剔除；
逐步选择法：每次向前引入一个新自变量后，重新对已选入的自变量进行检查，引入与剔除交替进行。要求检验水准 $\alpha_{选入}\le \alpha_{剔除}$

多元线性回归的注意事项

应用条件：“LINE”

Linear：具有线性关系
Independent：各观测值相互独立
Normal：残差 $e$ 服从正态分布
Equal variance：方差齐性（对于任一组自变量，因变量方差相同）

十三、 Logistic 回归分析

Logistic 回归

因变量为分类变量，概率为 $P\in [0,1]$

令

Odds=\frac{P}{1-P}

\text{logit}(P)=\ln(Odds)=\ln(\frac{P}{1-P}) \in(-\infty,+\infty)

经过 logit 变换， Logistic 回归模型可以表示为如下线性形式：

\ln(\frac{P}{1-P})=\beta_0+\beta_1X_1+\cdots+\beta_mX_m

\implies P=\frac1{1+\exp[-(\beta_0+\beta_1X_1+\cdots+\beta_mX_m)]}

Odds Ratio

定义： $OR=\exp[\beta_j(c_1-c_0)]$ 表示在其他条件不变的情况下，某个自变量（特征）每增加一个单位时，目标事件发生几率（odds）的变化倍数。
公式：如果 $c_1 = 1$ $c_{1} = 1$ , 代表暴露组， $c_0 = 0$ $c_{0} = 0$ ，代表非暴露组，则 $OR=\exp(\beta_j)$ $OR = exp (β_{j})$ ，
- 当 $OR = 1$ ：该特征对事件发生没有影响。
- 当 $OR > 1$ ：该特征增加事件发生概率（保护因素）。
- 当 $OR < 1$ ：该特征降低事件发生概率（风险因素）。

最大似然估计 MLE

对于第 $i$ 个观测的似然：

\ L_i(\beta)=P_i^{Y_i}(1-P_i)^{1-Y_i}

其中 $P_i=\frac1{1+\exp[-(\beta_0+\beta_1X_{i1}+\cdots+\beta_mX_{im})]}$

总似然函数（ $n$ 个独立观测）：

L(\beta)=\prod_{i=1}^n{P_i^{Y_i}[1-P_i]^{1-Y_i}}

目的：找到使得 $L(\beta)$ 最大的 $\beta$ ，用来估计该模型的参数。

似然比检验 LRT

基于最大似然估计，检验新旧模型的拟合优度，判断新增加的参数是否显著改善了模型。

基本思想：如果简化模型已经足够好，完整模型的似然值不会显著增高。

\lambda=-2\ln(\frac{L_{简化}}{L_{完整}})

分布：假设简化模型的参数个数为 $l$ ，完整模型的参数个数为 $p$ ，则 $\lambda$ 近似服从 $\nu=p-l$ 的 $\chi^2$ 分布。

若 $\lambda \ge \chi_{\alpha,\nu}^2$ ：则表示新加入的 $\nu$ 个自变量对回归有显著的贡献。

Wald 检验

基于最大似然估计，将各参数 $\beta_j$ 的估计值 $b_j$ 与 $0$ 比较，检验 $\beta_j=0$ 是否成立。可以用于判断某个参数是否显著地不为某个特定值（通常为0）。

对于大样本资料，

z=\frac{b_j-0}{\text{SE}(b_j)} \text{ or } \chi^2=(\frac{b_j-0}{\text{SE}(b_j)})^2

服从标准正态分布或 $\nu=1$ 的卡方分布。

变量筛选

使用逐步回归法筛选自变量（似然比检验），确定选入水准 $\alpha$ 、筛出水准 $\alpha_出$

条件 Logistic 回归

在设计阶段对可能构成混杂的因素进行控制，每个病例匹配1至多个对照，是针对配对病例对照研究的一种分析方法。

Logistic 回归应用及注意事项

应用：可以估计某一因素不同水平下的 $OR_j$ 以及近似相对危险度 $RR_j$

指标	定义	公式
OR (Odds Ratio)	暴露组患病几率与非暴露组患病几率的比值	$\frac{a/b}{c/d}=\frac{ad}{bc}$
RR (Relative Risk)	暴露组患病概率与非暴露组患病概率的比值	$\frac{a/(a+b)}{c/(c+d)}$

混杂因素的判断标准：

与暴露因素相关联；
与结局独立相关；
不是暴露因素导致结局的中间变量。

十四、生存分析

基本概念

生存时间： 从规定的观察起点到某重点事件出现所经历的时间间隔；

删失数据： 不知道确切生存时间的数据，右删失数据称为截尾数据 $t^+$

生存数据特点：

同时考虑生存结局和生存时间；
生存时间可能有删失数据和截尾数据；
生存时间往往不服从正态分布。

死亡概率： 死于某段时间的可能性大小

q=\frac{某年内死亡数}{某年初观察例数}

当存在删失数据时，分母改成校正观察例数：

期初校正观察例数=期初观察数-\frac12删失例数

相对应，有生存概率 $p=1-q$

生存率/生存函数： 观察对象的生存时间 $T$ 大于某时刻 $t$ 的概率，用 $\hat{S}(t)$ 表示： $0≤ \hat{S}(t) ≤1$ ，其定义为

\hat{S}(t)=\hat{P}(T>t)=\frac{t 时刻存活例数}{观察总例数}

若有删失数据：需要分段计算生存概率 $\hat{p_j}(j=1,2,\cdots,i)$

\hat{S}(t_i)=\hat{p_1}\hat{p_2}\cdots\hat{p_i}=\hat{S}(t_{i-1})\hat{p_i}

风险函数： 生存时间已达到 $t$ 的观察对象在时刻 $t$ 瞬时死亡率，用 $h(t)$ 表示，其定义为

h(t)=\lim_{\Delta t \to0}\frac{P(t\le T < t+\Delta t|T\ge t)}{\Delta t}

生存曲线及比较

Kaplan-Meier 生存率曲线

将生存时间 $t_i$ 按从小到大排序（删失数据在完全数据之后）
列出 $[t_i,t_{i+1})$ 的复发数 $d_i$ 删失数 $c_i$
计算复发概率 $\hat{q_i}=\frac{d_i}{n_i}$ 生存概率 $\hat{p_i}=1-\hat{q_i}$
计算生存率 $\hat{S}(t_i)=\hat{S}(t_{i-1})\hat{p_i}$
计算生存率的标准误 $\text{SE}[\hat{S}(t_i)]=\hat{S}(t_i)\sqrt{\sum_{t_j\le t_i}\frac{d_j}{n_j(n_j-d_j)}},j=1,2,\cdots,i$

它不依赖于生存时间服从任何特定的分布假设，而是直接基于实际观察到的生存数据（如删失数据）来估计生存函数，因此是一种 非参数的估计方法 。

Log-rank 检验

又称时序检验，属于非参数检验，不指定生存时间服从特定分布。

$H_0$ ：不同组别在时间-事件数据上不存在显著差异。

则在 $H_0$ 成立时：根据 $t_i$ 时的死亡率，可以计算出各组的理论死亡数。

检验统计量 $\chi^2$ 近似服从自由度 $\nu=g-1$ 的 $\chi^2$ 分布。

\chi^2=\frac{[\sum d_{ki}-\sum T_{ki}]^2}{\sum V_{ki}},k=1,2,\cdots,g

其中，

$d_{ki}$ 是各组在时间 $t_i$ 上的实际死亡数；
$T_{ki}=\frac{n_{ki}d_i}{n_i}$ 是各组在时间 $t_i$ 上的理论死亡数;
$V_{ki}$ 是第 $k$ 组的方差估计值。

Breslow 检验

\chi^2=\frac{[\sum w_id_{ki}-\sum w_iT_{ki}]^2}{\sum w_i^2V_{ki}},k=1,2,\cdots,g

$w_i=n_i$ 比 Log-rank 多了一个权重。

Cox 回归

风险函数

h(t,X)=h_0(t)\exp(\beta_1x_1+\beta_2x_2+\cdots+\beta_m x_m)

给定协变量 $x$ （如年龄、性别、治疗方案等）
在时间 $t$ 仍然存活的前提下
在接下来瞬间发生事件（如死亡、复发等）的瞬时风险
$h_0(t)$ ：基准风险函数，是在所有协变量均为 $0$ 时的风险函数；所有个体的基准风险函数相同
$\implies \ln(\frac{h(t,X)}{h_0(t)})=\beta_1x_1+\beta_2x_2+\cdots+\beta_m x_m$

风险比 Hazard Ratio

表示协变量 $X_j$ 每增加一个单位时，风险函数 $h(t,X)$ 变化的倍数。

\text{HR}=\exp[\beta_j(c_1-c_0)]

其中， $c_1$ 和 $c_0$ 分别表示自变量 $X_j$ 的两个取值。

协变量效应始终 与时间无关。

作用：

$=1$ ：无作用
$>1$ ：危险因子（意义：暴露于该因素会提高事件发生概率）
$<1$ ：保护因子（意义：暴露于该因素会降低事件发生概率）

文章标题：医学统计学复习（2）

文章作者：Reqwey

文章链接：https://reqwey.xyz/posts/%E5%8C%BB%E5%AD%A6%E7%BB%9F%E8%AE%A1%E5%AD%A62[复制]

最后修改时间：

医学统计学复习（1）

八、 方差分析

F 检验

方差齐性检验

方差分析

完全随机设计的多个样本均数比较

随机区组设计的方差分析

九、 卡方检验

四格表资料的卡方检验

Pearson 卡方公式

理论频数计算公式

专用公式

校正公式

Fisher 确切概率法

配对四格表资料的卡方检验

McNemar 检验方法

R×C 列联表的卡方检验

十、 非参数检验

Wilcoxon 符号秩和检验

建立假设检验

检验步骤

Wilcoxon 两独立样本秩和检验

建立假设检验

检验步骤

多个独立样本的 H 检验

建立假设检验

检验步骤

十一、 线性回归与相关

线性相关

协方差

Pearson 积差相关系数

相关性的正负与强度

相关系数的显著性与假设检验

Spearman 秩相关

线性回归

简单线性回归方程

残差平方和

线性回归中总变异的分解

线性回归与相关应用的注意事项

十二、 多元线性回归

多元线性回归

残差平方和

模型检验-F检验

复相关系数和决定系数

偏回归系数检验

标准化回归系数

多元逐步回归

多元线性回归的注意事项

十三、 Logistic 回归分析

Logistic 回归

Odds Ratio

最大似然估计 MLE

似然比检验 LRT

Wald 检验

变量筛选

条件 Logistic 回归

Logistic 回归应用及注意事项

十四、 生存分析

基本概念

生存曲线及比较

Kaplan-Meier 生存率曲线

Log-rank 检验

Breslow 检验

Cox 回归

风险函数

风险比 Hazard Ratio

八、方差分析

九、卡方检验

十、非参数检验

十一、线性回归与相关

十二、多元线性回归

十四、生存分析